staple
With cedram.org

Search the site

Table of contents for this issue | Previous article | Next article
Marco Antei
Comparison between the fundamental group scheme of a relative scheme and that of its generic fiber
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 22 no. 3 (2010), p. 537-555, doi: 10.5802/jtnb.731
Article PDF | Reviews MR 2769330 | Zbl 1267.14029

Résumé - Abstract

We show that the natural morphism $\varphi :\pi _1(X_{\eta },x_{\eta }) \rightarrow \pi _1(X,x)_{\eta }$ between the fundamental group scheme of the generic fiber $X_{\eta }$ of a scheme $X$ over a connected Dedekind scheme and the generic fiber of the fundamental group scheme of $X$ is always faithfully flat. As an application we give a necessary and sufficient condition for a finite, dominated pointed $G$-torsor over $X_{\eta }$ to be extended over $X$. We finally provide examples where $\varphi :\pi _1(X_{\eta },x_{\eta })\rightarrow \pi _1(X,x)_{\eta }$ is an isomorphism.

Bibliography

[1] S. Anantharaman, Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1. Mémoires de la S. M. F. 33 (1973), 5–79. Numdam |  MR 335524 |  Zbl 0286.14001
[2] J. E. Bertin, Généralités sur les préschémas en groupes. Exposé VI$_B$, Séminaires de Géométrie Algébrique Du Bois Marie. III , (1962/64)
[3] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques. North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1970.  MR 302656
[4] P. Gabriel, Construction de préschémas quotient. Exposé V, Séminaires de Géométrie Algébrique Du Bois Marie. III , (1962/64)  MR 257095
[5] C. Garuti, Barsotti-Tate Groups and p-adic Representations of the Fundamental Group Scheme. Math. Ann. 341 No. 3 (2008), 603–622.  MR 2399161 |  Zbl 1145.14036
[6] C. Gasbarri, Heights of Vector Bundles and the Fundamental Group Scheme of a Curve. Duke Math. J. 117 No.2 (2003), 287–311. Article |  MR 1971295 |  Zbl 1026.11057
[7] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l’IHÉS, 4 (1960). Numdam |  Zbl 0118.36206
[8] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l’IHÉS, 8 (1961). Numdam |  Zbl 0118.36206
[9] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Publications Mathématiques de l’IHÉS, 24 (1965). Numdam |  Zbl 0135.39701
[10] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III, Publications Mathématiques de l’IHÉS, 28 (1966). Numdam |  Zbl 0144.19904
[11] H. Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, 1980.  MR 879273 |  Zbl 0603.13001
[12] M. V. Nori, On the Representations of the Fundamental Group. Compositio Matematica, Vol. 33, Fasc. 1 (1976), 29–42. Numdam |  MR 417179 |  Zbl 0337.14016
[13] M. V. Nori, The Fundamental Group-Scheme. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), Vol. 91, Number 2 (1982), 73–122.  MR 682517 |  Zbl 0586.14006
[14] M. V. Nori, The Fundamental Group-Scheme of an Abelian Variety. Math. Ann. 263 (1983), 263–266.  MR 704291 |  Zbl 0497.14018
[15] M. Raynaud, Schémas en groupes de type $(p,\ldots ,p)$. Bulletin de la Société Mathématique de France 102 (1974), 241–280. Numdam |  MR 419467 |  Zbl 0325.14020
[16] M. Romagny, Effective Models of Group Schemes. ArXiv:0904.3167v2, (2009). arXiv
[17] M. Saidi, Cyclic p-Groups and Semi-Stable Reduction of Curves in Equal Characteristic $p>0$. ArXiv:math/0405529 (2004). arXiv
[18] W. C. Waterhouse, Introduction to Affine Group Schemes. GTM, Springer-Verlag, 1979.  MR 547117 |  Zbl 0442.14017