The Jacobi form DL, theta functions, and Eisenstein series
Abdelmejid Bayad1 ; Gilles Robert2
1 Département de mathématiques Université d’Evry Val d’Essonne Bâtiment I.B.G.B.I., 3ème étage 23 Bd. de France 91037 Evry Cedex FRANCE
2 Université de Grenoble I, Institut Fourier UFR de Mathématiques, B.P. 74, 38402 St. Martin d’Hères CEDEX FRANCE
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 75-88.

In this paper we study the Jacobi modular form DL, we clarify its relation to theta function of genus one and its link with Eisenstein series, and also its relationship with Kronecker’s series. We compute the logarithmic derivative of x→DL(x,z), and derive from it an integral representative of DL valid for x in the punctured disk of radius the distance of z to L. We consider the Laurent series coefficients of DL and establish a recurrence formula for them. Those coefficients are elliptic analogue to periodized Bernoulli functions. Several interesting identities can be obtained from our study. These interrelations were already the object of the Weil’s book [10]. New relations are here obtained.

Dans ce travail, consacré à la forme modulaire de Jacobi DL, nous clarifions sa relation à la fonction thêta de genre un, son écriture possible comme une série de Kronecker, et leur lien avec les séries d’Eisenstein. Nous calculons la dérivée logarithmique de x→DL(x,z), et déduisons de ce calcul une représentation intégrale de DL valable pour x dans le disque épointé, de rayon la distance de z à L. Concernant les coefficients du développement en série de Laurent de DL, nous établissons une relation de récurrence liant ceux-ci aux valeurs des séries d’Eisenstein Ek*(z;L)-ek*(L), pour k≥1. Ces coefficients sont les analogues des fonctions de Bernoulli périodiques. Plusieurs identités intéressantes peuvent être décrites par notre étude. Certaines de ces relations ont déjà été étudiées dans le livre de A. Weil [10]. Des identités nouvelles sont obtenues ici.

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DOI : 10.5802/jtnb.929
Classification : 11F50, 11M56, 33E05
Mots-clés : Eisenstein series, Kronecker series, Jacobi modular form, theta function of genus one, elliptic Bernoulli numbers

Abdelmejid Bayad 1 ; Gilles Robert 2

1 Département de mathématiques Université d’Evry Val d’Essonne Bâtiment I.B.G.B.I., 3ème étage 23 Bd. de France 91037 Evry Cedex FRANCE
2 Université de Grenoble I, Institut Fourier UFR de Mathématiques, B.P. 74, 38402 St. Martin d’Hères CEDEX FRANCE 
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Abdelmejid Bayad; Gilles Robert. The Jacobi form $D_L,$ theta functions, and Eisenstein series. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 75-88. doi : 10.5802/jtnb.929. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.929/

[1] A. Bayad, « Jacobi forms in two variables: Analytic theory and elliptic Dedekind sums », 2011.

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[10] —, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 88, ii+93 pages. | Zbl

Cité par Sources :