staple
Avec cedram.org

Rechercher dans le site

Articles à paraître dans une prochaine livraison | Précédent | Suivant


Jaap Top; Carlo Verschoor
Counting points on the Fricke–Macbeath curve over finite fields, à paraître, mis en ligne le 13 Decembre 2017, 13 p.
Article: PDF

Résumé

La courbe de Fricke-Macbeath est une courbe projective lisse de genre $7$ avec groupe d’automorphismes $\mathop {\mathrm{PSL}}_2({\mathbb{F}}_8)$. Nous rappelons deux modèles de cette courbe (introduits respectivement par Maxim Hendriks et Bradley Brock) définis sur ${\mathbb{Q}}$, et nous établissons un isomorphisme explicite, défini sur ${\mathbb{Q}}(\sqrt{-7})$, entre ces deux modèles. De plus, nous décomposons à isogénie sur ${\mathbb{Q}}$ près la jacobienne de l’un des modèles. Comme une conséquence nous obtenons une formule simple pour le nombre de points sur ${\mathbb{F}}_q$ de (la réduction de) ce modèle, en termes de la courbe elliptique d’équation $y^2=x^3 + x^2 - 114x - 127$. Enfin, des tordus de cette courbe par des éléments de $\mathop {\mathrm{PSL}}_2({\mathbb{F}}_8)$ sur des corps finis sont décrits. La courbe donne un certain nombre de nouveaux records maintenus par manYPoints de courbes de genre $7$ avec beaucoup de points rationnels sur des corps finis.

Bibliographie

[1] W. Bosma, J. Cannon & C. Playoust, « The Magma algebra system. I. The user language », J. Symb. Comput. 24 (1997), no. 3-4, p. 235-265.
[2] W. L. Edge, « A canonical curve of genus 7 », Proc. Lond. Math. Soc. 17 (1967), p. 207-225.
[3] N. D. Elkies, « Shimura curve computations », in Algorithmic number theory. 3rd international symposium, Lect. Notes Comput. Sci., vol. 1423, Springer, 1998, p. 1-47.
[4] K. E. R. Fricke, « Ueber eine einfache Gruppe von $504$ Operationen », Math. Ann. 52 (1899), p. 321-339.
[5] G. van der Geer, E. W. Howe, K. E. Lauter & C. Ritzenthaler, « Tables of Curves with Many Points », 2009, http://manypoints.org.
[6] E. Girondo, D. Torres-Teigell & J. Wolfart, « Fields of definition of uniform dessins on quasiplatonic surfaces », in Riemann and Klein surfaces, automorphisms, symmetries and moduli spaces, Contemporary Mathematics, vol. 629, American Mathematical Society, 2015, p. 155-170.
[7] M. Hendriks, « Platonic Maps of Low Genus », PhD Thesis, Eindhoven University of Technology, The Netherlands, 2013, https://pure.tue.nl/ws/files/3493571/748466.pdf.
[8] R. A. Hidalgo, « Edmonds maps on Fricke-Macbeath curve », Ars Math. Contemp. 8 (2015), no. 2, p. 275-289.
[9] E. W. Howe, « Curves of medium genus with many points », https://arxiv.org/abs/1609.01838v2, 2016.
[10] F. Klein, « Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen », Clebsch Ann. XIV (1879), p. 428-471.
[11] A. M. Macbeath, « On a curve of genus 7 », Proc. Lond. Math. Soc. 15 (1965), p. 527-542.
[12] S. Meagher & J. Top, « Twists of genus three curves over finite fields », Finite Fields Appl. 16 (2010), no. 5, p. 347-368.
[13] S. Sémirat, « 2-extensions with many points », http://arxiv.org/abs/math/0011067v1, 2000.
[14] J.-P. Serre, « Appendix to “Square-root parametrization of plane curves” », in Algebraic geometry and its applications, Springer, 1994, p. 85-88.
[15] G. Shimura, « Construction of class fields and zeta functions of algebraic curves », Ann. Math. 85 (1967), p. 58-159.
[16] M. A. Soomro, « Algebraic Curves over Finite Fields », PhD Thesis, University of Groningen, The Netherlands, 2013, https://www.rug.nl/research/portal/files/2371262/Afzal_Thesis.pdf.
[17] C. Verschoor, Twists of the Klein Curve and of the Fricke Macbeath Curve, Memoir, University of Groningen, The Netherlands, 2015, http://irs.ub.rug.nl/dbi/55e5a09cbf723.
[18] K. Wohlfahrt, « Macbeath’s Curve and the Modular Group », Glasg. Math. J. 27 (1985), p. 239-247, corrigendum in ibid., 28 (1986), p. 241.