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Jörg M. Thuswaldner
Unimodular Pisot substitutions and their associated tiles
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 18 no. 2 (2006), p. 487-536, doi: 10.5802/jtnb.556
Article PDF | Analyses MR 2289436 | Zbl 05135401 | 4 citations dans Cedram

Résumé - Abstract

Soit $\sigma $ une substitution de Pisot unimodulaire sur un alphabet à $d$ lettres et soient $X_1,\ldots , X_d$ les fractales de Rauzy associées. Dans le présent article, nous souhaitons étudier les frontières $\partial X_i$ ($1\le i\le d$) de ces fractales. Dans ce but, nous définissons un graphe, appelé graphe de contact de $\sigma $ et noté $\mathcal{C}$. Si $\sigma $ satisfait une condition combinatoire appelée condition de super coïncidence, le graphe de contact peut être utilisé pour établir un système auto-affine dirigé par un graphe dont les attracteurs sont des morceaux des frontières $\partial X_1,\ldots , \partial X_d$. De ce système dirigé par un graphe, nous déduisons une formule simple pour la dimension fractale de $\partial X_i$, dans laquelle les valeurs propres de la matrice d’adjacence de $\mathcal{C}$ interviennent.

Un avantage du graphe de contact est sa structure relativement simple, ce qui rend possible sa construction immédiate pour une grande classe de substitutions. Dans cet article, nous construisons explicitement le graphe de contact pour une classe de substitutions de Pisot qui sont reliées aux $\beta $-développements par rapport à des unités Pisot cubiques. En particulier, nous considérons des substitutions de la forme

\begin{equation*} \sigma (1) = \underbrace{1\ldots 1}_{b\,\hbox{fois}}2, \quad \sigma (2) =\underbrace{1\ldots 1}_{a\,\hbox{fois}}3, \quad \sigma (3) =1 \end{equation*}

où $b\ge a\ge 1$. Il est bien connu que ces substitutions satisfont la condition de super coïncidence mentionnée plus haut. Donc nous pouvons donner une formule explicite pour la dimension fractale des frontìeres des fractales de Rauzy associées à ces substitutions.

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