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Marco Illengo
Cohomology of integer matrices and local-global divisibility on the torus
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 20 no. 2 (2008), p. 327-334, doi: 10.5802/jtnb.629
Article PDF | Analyses MR 2477506 | Zbl pre05543164

Résumé - Abstract

Soient ${p\ne 2}$ un nombre premier et $G$ un $p$-groupe de matrices dans ${{{\mathrm{SL}}}_n(\mathbb{Z})}$, pour un nombre entier $n$. Dans cet article nous montrons que, pour ${n<3(p-1)}$, un certain sous-groupe du groupe de cohomologie ${H^1(G,{{\mathbb{F}}}_p^n)}$ est trivial. Nous montrons aussi que cette affirmation peut être fausse pour ${n\ge 3(p-1)}$. Avec un résultat de Dvornicich et Zannier (voir [2]), nous obtenons que le principe local-global de divisibilité pour $p$ vaut pour tout tore algébrique de dimension ${n<3(p-1)}$.

Bibliographie

[1] J. W. S. Cassels, An introduction to the Geometry of Numbers. Springer, 1997.  MR 1434478 |  Zbl 0866.11041
[2] R. Dvornicich, U. Zannier, Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups. Bull. Soc. Math. France 129 (2001), no. 3, 317–338. Numdam |  MR 1881198 |  Zbl 0987.14016
[3] R. Dvornicich, U. Zannier, On a local-global principle for the divisibility of a rational point by a positive integer. Bull. London Math. Soc. 39 (2007), 27–34.  MR 2303515 |  Zbl 1115.14011
[4] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, 1967.  MR 232867 |  Zbl 0189.02603