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Fumio Sairaiji; Takuya Yamauchi
On rational torsion points of central $\mathbb{Q}$-curves
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 20 no. 2 (2008), p. 465-483, doi: 10.5802/jtnb.637
Article PDF | Analyses MR 2477514 | Zbl 1171.11037

Résumé - Abstract

Soit $E$ une $\mathbb{Q}$-courbe centrale sur un corps polyquadratique $k$. Dans cet article, nous donnons une borne supérieure des diviseurs premiers de l’ordre du sous-groupe de torsion $k$-rationnel $E_{tors}(k)$ (voir Théorèmes 1.1 et 1.2). La notion de $\mathbb{Q}$-courbe centrale est une généralisation de celle de courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$. Notre résultat est une généralisation du Théorème de Mazur [12], et c’est une précision des bornes supérieures de Merel [15] et Oesterlé [17].

Bibliographie

[1] J. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.  MR 1201151 |  Zbl 0758.14042
[2] P. Deligne, M. Rapoport, Schémas de modules de courbes elliptiques. Lecture Notes in Math. 349, Springer, Berlin-Heiderlberg-New York, 1973.  MR 337993 |  Zbl 0281.14010
[3] N.D. Elkies, On elliptic $K$-curves. In Modular curves and abelian varieties, Birkhäuser, 2004.  MR 2058644 |  Zbl pre02164176
[4] M. Furumoto, Y. Hasegawa, Hyperelliptic quotients of modular curves $X_0(N)$. Tokyo J. Math. 22 (1999), 105–125.  MR 1692024 |  Zbl 0947.11019
[5] A. Grothendieck, Groupes de monodromie en géometrie algébrique. In Séminaire de Géometrie Algébrique, Springer, 1972/3.  MR 354656
[6] Y. Hasegawa, $\mathbb{Q}$-curves over quadratic fields. Manuscripta Math. 94 (1997), 347–364. Article |  MR 1485442 |  Zbl 0909.11017
[7] G. Karpilovsky, Group representations, Vol. 2. Elsevier, Amsterdam, 1993.  MR 1215935 |  Zbl 0778.20001
[8] S. Kamienny, On the torsion subgroups of elliptic curves over totally real field. Invent. Math. 83 (1986), 545–551.  MR 827366 |  Zbl 0585.14023
[9] S. Kamienny, Torsion points on elliptic curves and $q$-coefficients of modular forms. Invent. Math. 109 (1992), 221–229.  MR 1172689 |  Zbl 0773.14016
[10] M. Kenku, F. Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields. Nagoya Math. J. 109 (1988), 125–149. Article |  MR 931956 |  Zbl 0647.14020
[11] D.S. Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curves. Proc. London Math. Soc. 33 (1976), 193–237.  MR 434947 |  Zbl 0331.14010
[12] B. Mazur, Rational points on modular curves. In Modular functions of one variable V, Springer, Berlin, 1977.  MR 450283 |  Zbl 0357.14005
[13] B. Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal. Publ. Math. IHES 47 (1978), 33–186. Numdam |  MR 488287 |  Zbl 0394.14008
[14] B. Mazur, Rational isogenies of prime degree. Invent Math. 44 (1978), 129–162.  MR 482230 |  Zbl 0386.14009
[15] L. Merel, Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres. Invent. Math. 124 (1996), 437–449.  MR 1369424 |  Zbl 0936.11037
[16] K. Murty, The addition law on hyperelliptic Jacobians. Currents trends in number theory (Allahabad, 2000), 101–110, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2002.  MR 1925645 |  Zbl 1092.14508
[17] J. Oesterlé, Torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres, preprint.
[18] P. Parent, Borne effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres. J. Reine Angew Math. 503 (1999), 129–160.  MR 1665681 |  Zbl 0919.11040
[19] E.E. Pyle, Abelian varieties over $\mathbb{Q}$ with large endomorphism algebras and their simple components over $\overline{\mathbb{Q}}$. In Modular curves and abelian varieties, Birkhäuser, 2004.  MR 2058652 |  Zbl 1116.11040
[20] J. Quer, $\mathbb{Q}$-curves and abelian varieties of GL$_2$-type. Proc. London Math. Soc. 81 (2000), 285–317.  MR 1770611 |  Zbl 1035.11026
[21] M. Raynaud, Schémas en groupes de type $(p,\ldots ,p)$. Bull. Soc Math. Fr. 102 (1974), 241–280. Numdam |  MR 419467 |  Zbl 0325.14020
[22] K. Ribet, A modular construction of unramified $p$-extension of $\mathbb{Q}(\mu _p)$. Invent. Math. 34 (1976), 151–162.  MR 419403 |  Zbl 0338.12003
[23] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties. Ann. Math. 88 (1968), 492–517.  MR 236190 |  Zbl 0172.46101
[24] J. Tate, Algorithm for determining the type of a singular fibre in an elliptic pencil. In Modular Function of One Variable IV, Springer-Verlag, 1975.  MR 393039
[25] T. Yamauchi, On $\mathbb{Q}$-simple factors of Jacobian varieties of modular curves. Yokohama Math. J. 53 (2007), no. 2, 149–160.  MR 2302608 |  Zbl 1132.14025
[26] L.C. Washington, Introduction to cyclotomic fields. Springer-Verlag New-York, 1997.  MR 1421575 |  Zbl 0966.11047