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Tanguy Rivoal
On the distribution of Hawkins’ random “primes”
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 20 no. 3 (2008), p. 799-809, doi: 10.5802/jtnb.651
Article PDF | Analyses MR 2523318 | Zbl pre05572702

Résumé - Abstract

Hawkins a défini une version probabiliste du crible d’Ératosthène et étudié la suite des nombres “premiers” aléatoires $(p_k)_{k\ge 1}$ ainsi créés. Au moyen de diverses techniques probabilistes, de nombreux auteurs ont ensuite obtenu des résultats très fins sur ces “premiers”, souvent en accord avec des théorèmes ou conjectures classiques sur les nombres premiers usuels. Dans ce papier, on prouve que le nombre d’entiers $k\le n$ tel que $p_{k+\alpha }-p_k=\alpha $ est presque sûrement équivalent à $n/\log (n)^{\alpha }$, pour tout entier $\alpha \ge 1$ fixé. C’est un cas particulier d’un travail récent de Bui and Keating (exprimé autrement) mais notre méthode est différente et fournit un terme d’erreur. On montre également que le nombre d’entiers $k\le n$ tel que $p_k\in a\mathbb{N}+b$ est presque sûrement équivalent à $n/a$, pour tous entiers $a\ge 1$ et $0\le b\le a-1$ fixés, ce qui peut être vu comme un analogue du théorème de Dirichlet.

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