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Denis Simon
A “class group” obstruction for the equation $Cy^d=F(x,z)$
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 20 no. 3 (2008), p. 811-828, doi: 10.5802/jtnb.652
Article PDF | Analyses MR 2523319 | Zbl pre05572703

Résumé - Abstract

L’objet de cet article est d’étudier les équations de la forme $Cy^d=F(x,z)$ où $F\in \mathbb{Z}[x,z]$ est une forme binaire homogène de degré $n$, supposée primitive et irréductible, et $d$ est un entier quelconque fixé. Par des méthodes classiques de théorie algébrique des nombres, nous montrons que l’existence d’une solution propre de ces équations entraîne l’existence d’un idéal entier de norme donnée dans un certain ordre d’un corps de nombres, ainsi que l’existence d’une relation dans le groupe de classe impliquant cet idéal. Ce résultat permet de montrer dans certains cas que ces équations n’ont pas de solution propre. De nombreux exemples sont donnés pour illustrer ce critère. Dans une seconde partie, un lien est fait entre ce résultat et les propriétés de la différente du corps de nombres considéré.

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