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Damien Roy
Construction of points realizing the regular systems of Wolfgang Schmidt and Leonard Summerer
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 27 no. 2 (2015), p. 591-603, doi: 10.5802/jtnb.915
Article PDF | Analyses MR 3393168
Class. Math.: 11J13, 11J82

Résumé - Abstract

Récemment, W. M. Schmidt et L. Summerer ont introduit une nouvelle théorie qui leur permet de redémontrer les principales inégalités connues liant les exposants d’approximation diophantienne d’un point de $\mathbb{R}^n$, et d’en trouver de nouvelles. Ils montrent d’abord comment la plupart de ces exposants peuvent être calculés en termes des minima successifs d’une famille de convexes à un paramètre attachée à ce point. Puis ils démontrent que ces minima peuvent, à leur tour, être approchés par une certaine classe de fonctions dites de type $(n,\gamma )$. Ils ramènent ainsi le problème initial à l’étude de ces fonctions. Pour compléter la théorie, on voudrait savoir si, en retour, étant donné une fonction de ce type, il existe un point de $\mathbb{R}^n$ dont les minima de la famille de convexes correspondante approchent cette fonction. On montre ici que tel est le cas pour les fonctions dites régulières.

Bibliographie

[1] Y. Bugeaud and M. Laurent, On transfer inequalities in Diophantine approximation II, Math. Z. 265 (2010), 249–262.  MR 2609309 |  Zbl 1234.11086
[2] O. N. German, Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers, Acta Arith. 154 (2012), 79–101.  MR 2943676
[3] P. M. Gruber and C. G. Lekkerkerker, Geometry of numbers, North-Holland, (1987).  MR 893813 |  Zbl 0611.10017
[4] V. Jarník, Zum Khintchineschen Übertragungssatz, Trav. Inst. Math. Tbilissi 3 (1938), 193–212.  Zbl 0019.10602
[5] A. Y. Khintchine, Zur metrischen Theorie der Diophantischen Approximationen, Math. Z. 24 (1926), 706–714.  MR 1544787 |  JFM 52.0183.02
[6] A. Y. Khintchine, Über eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen, Rend. Circ. Mat. Palermo 50 (1926), 170–195.  JFM 52.0183.01
[7] M. Laurent, Exponents of Diophantine approximation in dimension two, Can. J. Math. 61 (2009), 165–189.  MR 2488454 |  Zbl 1229.11101
[8] N. G. Moshchevitin, Exponents for three-dimensional simultaneous Diophantine approximations, Czechoslovak Math. J. 62 (2012), 127–137.  MR 2899740 |  Zbl 1249.11061
[9] D. Roy, On Schmidt and Summerer parametric geometry of numbers, Ann. of Math. 182 (2015), to appear.
[10] W. M. Schmidt, On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations, Ann. of Math. 85 (1967), 430–472.  MR 213301 |  Zbl 0152.03602
[11] W. M. Schmidt and L. Summerer, Parametric geometry of numbers and applications, Acta Arith. 140 (2009), 67–91.  MR 2557854 |  Zbl 1236.11060
[12] W. M. Schmidt and L. Summerer, Diophantine approximation and parametric geometry of numbers, Monatsh. Math. 169 (2013), 51–104.  MR 3016519 |  Zbl 1264.11056
[13] W. M. Schmidt and L. Summerer, Simultaneous approximation to three numbers, Mosc. J. Comb. Number Theory 3 (2013), 84–107.  MR 3284111 |  Zbl 1301.11058