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David Krumm
Squarefree parts of polynomial values
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 28 no. 3 (2016), p. 699-724, doi: 10.5802/jtnb.959
Article PDF
Class. Math.: 11A07, 11R09, 11G05, 11G30
Mots clés: Squarefree part, hyperelliptic curve, quadratic twist, congruent number

Résumé - Abstract

Étant donné un polynôme non constant séparable $f(x)$ à coefficients entiers, nous considérons l’ensemble $S$ constitué des parties sans facteurs carrés de toutes les valeurs rationnelles de $f(x)$, et étudions son comportement modulo un nombre premier. Ayant fixé un nombre premier $p$, nous déterminons des conditions nécessaires et suffisantes pour que $S$ contienne un élément divisible par $p$. Nous conjecturons que si $p$ est suffisamment grand, alors $S$ contient une infinité de représentants de chaque classe résiduelle non nulle modulo $p$. Nous prouvons cette conjecture quand $f(x)$ est de degré 1 ou 2. Si $f(x)$ est de degré 3, ou s’il est de degré 4 avec une racine rationnelle, la preuve de la conjecture utilise la conjecture de parité pour les courbes elliptiques. Pour les polynômes de degré arbitraire, un analogue local de la conjecture est prouvé en utilisant des résultats standard de la théorie des corps de classe. Des résultats numériques sont aussi inclus qui confirment la version globale de la conjecture.

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