staple
Avec cedram.org

Rechercher dans le site

Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Mark W. Coffey; James L. Hindmarsh; Matthew C. Lettington; John D. Pryce
On Higher-Dimensional Fibonacci Numbers, Chebyshev Polynomials and Sequences of Vector Convergents
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 29 no. 2 (2017), p. 369-423, doi: 10.5802/jtnb.985
Article PDF
Class. Math.: 11B83, 11B39, 11J70, 33C45, 41A28
Mots clés: Special Sequences and Polynomials, Generalised Fibonacci Numbers, Orthogonal Polynomials, Vector Convergents

Résumé - Abstract

Nous étudions les suites de Fibonacci entrelacées multidimensionnelles, générées avec des fonctions de type Tchebychev ou des relations de récurrence $m$-dimensionnelles. Pour chaque nombre entier $m$, il y a une forme rationnelle et une forme entière de ces suites, et la suite entière peut être recouvrée en utilisant la structure de congruences modulo des nombres premiers des dénominateurs de la suite rationnelle.

À partir des suites, rationnelles ou entières, on construit des suites vectorielles dans $\mathbb{Q}^m$, convergeant vers des points irrationnels algébriques dans $\mathbb{R}^m$. Les termes de la suite rationnelle peuvent être décrits par des récurrences simples, des polynômes trigonométriques, des polynômes binomiaux, des sommes de carrés, et aussi par sommes de quotients de puissances des diagonales signées du polygone régulier à $n$ côtés. Ces suites exhibent en plus une qualité de type « arc-en-ciel », et correspondent aux nombres de Fleck à indice négatif, ce qui amène à certaines identités combinatoires sur les coefficients binomiaux.

On montre que les familles de polynômes orthogonaux générateurs, qui définissent les relations de récurrence, sont divisibles par les polynômes minimaux de certains nombres algébriques, et on en déduit les récurrences linéaires du second ordre et les équations différentielles pour ces polynômes. De plus, on discute de plusieurs résultats concernant la formule de Christoffel-Darboux, la formule de Rodrigues et les opérateurs d’échelle. En outre, on démontre que les transformations de Mellin de ces polynômes satisfont une équation fonctionnelle de la forme $p_n(s) = \pm p_n(1-s)$, et que tous leurs zéros sont situés sur la ligne critique $\Re (s) = 1/2$.

Bibliographie

[1] George E. Andrews, Richard Askey & Ranjan Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 71, Cambridge University Press, 1999
[2] Mark W. Coffey, “Generalized raising and lowering operators for supersymmetric quantum mechanics”, https://arxiv.org/abs/1501.06649, 2015
[3] Mark W. Coffey & Matthew C. Lettington, Mellin transforms with only critical zeros: Legendre functions, J. Number Theory 148 (2015), p. 507-536 Article
[4] Mark W. Coffey & Matthew C. Lettington, “On Fibonacci Polynomial Expressions for Sums of $m$-th Powers, their implications for Faulhaber’s Formula and some Theorems of Fermat”, https://arxiv.org/abs/1510.05402, 2015
[5] Harold Davenport, The Higher Arithmetic. An introduction to the theory of numbers, Cambridge University Press, 2008  MR 2462408
[6] Peter G. L. Dirichlet, Lectures on Number Theory, History of Mathematics (Providence) 16, American Mathematical Society, 1999
[7] Henry W. Gould, Combinatorial identities. A standardized set of tables listing 500 binomial coefficient summations., Morgantown, 1972
[8] Radosław Grzymkowski & Roman Wituła, Calculus Methods in Algebra, Part One, WPKJS, 2000, in Polish
[9] Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, Pure and Applied Mathematics, John Wiley, 2001  MR 1855020
[10] Wolfdieter Lang, “The field $\mathbb{Q}(2 \cos \frac{\pi }{n})$, its Galois group, and length ratios in the regular n-gon”, https://arxiv.org/abs/1210.1018v1, 2012
[11] Matthew C. Lettington, Fleck’s congruence, associated magic squares and a zeta identity, Funct. Approximatio, Comment. Math. 45 (2011), p. 165-205 Article
[12] Matthew C. Lettington, A trio of Bernoulli relations, their implications for the Ramanujan polynomials and the special values of the Riemann zeta function, Acta Arith. 158 (2013), p. 1-31 Article
[13] Wilhelm Magnus & Fritz Oberhettinger, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Chelsea Publishing Company, 1949
[14] John C. Mason & D. C. Handscomb, Chebyshev polynomials, Chapman & Hall/CRC, 2003
[15] John F. Rigby, Equilateral triangles and the Golden Ratio, The Mathematical Gazette 72 (1988), p. 27-30 Article
[16] Theodore J. Rivlin, Chebyshev Polynomials: From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, Pure and Applied Mathematics, John Wiley, 1990
[17] Peter Steinbach, Golden fields: A case for the heptagon, Math. Mag. 70 (1997), p. 22-31 Article
[18] Zhi-Wei Sun, On the sum $\sum _{k\equiv r\pmod {m}}\binom{n}{k}$ and related congruences, Isr. J. Math. 128 (2002), p. 135-156 Article
[19] Zhi-Wei Sun & Daqing Wan, On Fleck quotients, Acta Arith. 127 (2007), p. 337-363 Article
[20] David Surowski & Paul McCombs, Homogeneous polynomials and the minimal polynomial of $2\cos {(2\pi /n)}$, Missouri J. Math. Sci. 15 (2003), p. 4-14
[21] Gabor Szegö, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society Colloquium Publications 23, American Mathematical Society, 1975
[22] Steven Vajda, Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Ellis Horwood Books in Mathematics and its Applications, Halsted Press, 1989
[23] William Watkins & Joel Zeitlin, The Minimal Polynomial of $\cos {(2\pi /n)}$, Am. Math. Mon. 100 (1993), p. 471-474 Article
[24] Carl S. Weisman, Some congruences for binomial coefficients, Mich. Math. J. 24 (1977), p. 141-151 Article