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Carlo Sanna
A factor of integer polynomials with minimal integrals
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 29 no. 2 (2017), p. 637-646, doi: 10.5802/jtnb.994
Article PDF
Class. Math.: 11A41, 11C08, 11A63
Mots clés: Integer polynomials, Chebyshev problem, prime numbers

Résumé - Abstract

Pour chaque entier positif $N$, soit $S_N$ l’ensemble des polynômes $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de degré inférieur à $N$ et d’intégrale positive non-nulle minimale sur $[0,1]$. Ces polynômes sont liés à la répartition des nombres premiers puisque, si l’on note $\psi $ la fonction de Tchebychev, on a $\int _0^1 P(x) \,\mathrm{d}x = \exp (-\psi (N))$. Nous démontrons que, pour tout nombre entier positif $N$, il existe $P(x) \in S_N$ tel que le polynôme $(x(1-x))^{\lfloor N / 3 \rfloor }$ divise $P(x)$ dans $\mathbb{Z}[x]$. Nous montrons en fait que l’exposant $\lfloor N / 3 \rfloor $ ne peut pas être amélioré. Ce résultat est analogue à celui obtenu par Aparicio concernant les polynômes de $\mathbb{Z}[x]$ de norme $L^{\infty }$ non-nulle minimale sur $[0,1]$. En outre, il est en quelque sorte l’amélioration d’un résultat de Bazzanella, qui considérait $x^{\lfloor N / 2 \rfloor }$ et $(1-x)^{\lfloor N / 2 \rfloor }$ au lieu de $(x(1-x))^{\lfloor N / 3 \rfloor }$.

Bibliographie

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