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Jaap Top; Carlo Verschoor
Counting points on the Fricke–Macbeath curve over finite fields
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 1 (2018), p. 117-129, doi: 10.5802/jtnb.1019
Article PDF
Class. Math.: 11N56, 14G42
Mots clés: Hurwitz curve, automorphism group, jacobian, point counting

Résumé - Abstract

La courbe de Fricke-Macbeath est une courbe projective lisse de genre $7$ avec groupe d’automorphismes $\mathop {\mathrm{PSL}}_2({\mathbb{F}}_8)$. Nous rappelons deux modèles de cette courbe (introduits respectivement par Maxim Hendriks et Bradley Brock) définis sur ${\mathbb{Q}}$, et nous établissons un isomorphisme explicite, défini sur ${\mathbb{Q}}(\sqrt{-7})$, entre ces deux modèles. De plus, nous décomposons à isogénie sur ${\mathbb{Q}}$ près la jacobienne de l’un des modèles. Comme une conséquence nous obtenons une formule simple pour le nombre de points sur ${\mathbb{F}}_q$ de (la réduction de) ce modèle, en termes de la courbe elliptique d’équation $y^2=x^3 + x^2 - 114x - 127$. Enfin, des tordus de cette courbe par des éléments de $\mathop {\mathrm{PSL}}_2({\mathbb{F}}_8)$ sur des corps finis sont décrits. La courbe donne un certain nombre de nouveaux records maintenus par manYPoints de courbes de genre $7$ avec beaucoup de points rationnels sur des corps finis.

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