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G. Griffith Elder
Ramified extensions of degree $p$ and their Hopf–Galois module structure
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 1 (2018), p. 19-40, doi: 10.5802/jtnb.1014
Article PDF
Class. Math.: 11S15, 11R33, 16T05
Mots clés: Artin–Schreier equation, Galois module structure

Résumé - Abstract

Les extensions cycliques ramifiées $L/K$ de degré $p$ d’un corps local dont la caractéristique résiduelle est $p$ sont plutôt bien comprises. Elles sont définies par une équation d’Artin–Schreier sauf lorsque $\operatorname{char}(K)=0$ et $L=K(\@root p \of {\pi _K})$ pour une certaine uniformisante $\pi _K\in K$. De plus, depuis les travaux de Bertrandias–Ferton ($\operatorname{char}(K) = 0$) puis Aiba ($\operatorname{char}(K) = p$), plusieurs résultats sont connus sur la structure galoisienne des idéaux de telles extensions : on sait par exemple décrire la structure de chaque idéal $\mathfrak{P}_L^n$ comme module sur son ordre associé $\mathfrak{A}_{K[G]}(n)=\lbrace x\in K[G]: x\mathfrak{P}_L^n\subseteq \mathfrak{P}_L^n\rbrace $, où $G =\operatorname{Gal}(L/K)$. Le but de cet article est d’étendre ces résultats aux extensions séparables et ramifiées de degré $p$ qui ne sont pas galoisiennes.

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