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Rodolphe Richard
Répartition galoisienne ultramétrique d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques : Le cas de la mauvaise réduction. Application aux hauteurs locales.
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 1 (2018), p. 1-18, doi: 10.5802/jtnb.1013
Article PDF
Class. Math.: 37P50, 11S40, 14G40, 11F32
Mots clés: Modular curve, Berkovich space, Isogeny class, Equidistribution, Hecke orbits, Galois orbit, Dirichlet series, Asymptotic height, Local height

Résumé - Abstract

Nous nous intéressons à un problème analogue à [3] et à [4], un analogue lui déjà de [2]. Il s’agit de la distribution « galoisienne » d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, dans la courbe modulaire, mais en une place ultramétrique. Nous y répondons ici pour des invariants non entiers ultramétriques : ceux des courbes elliptiques à mauvaise réduction. La démarche adoptée est quantitative via un lien avec les séries de Dirichlet de séries d’Eisenstein. Nous montrons enfin comment appliquer la propriété d’équidistribution à l’asymptotique de la hauteur locale des valeurs de fonctions modulaires $P\in \mathbb{Q}(j)$ le long d’une classe d’isogénie, sous une hypothèse sur les pôles de $P$.

Nous laissons la gestion des pôles de $P$ et d’un problème inverse, l’équivalence entre asymptotique de hauteurs et équidistribution, à un article ultérieur. De même que les cas des courbes elliptiques à bonne réduction.

Bibliographie

[1] Vladimir G. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 1990
[2] William Drexel Duke, Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms, Invent. Math. 92 (1988), p. 73-90 Article
[3] Rodolphe Richard, Répartition galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347 (2009), p. 123-127 Article
[4] Rodolphe Richard, Répartition galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, Int. J. Number Theory 09 (2013), p. 517-543 Article
[5] Jean-Pierre Serre, Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), p. 259-331 Article
[6] Jean-Pierre Serre, Abelian $l$-adic representations and elliptic curves, Advanced Book Classics, Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989, With the collaboration of Willem Kuyk and John Labute
[7] Lucien Szpiro & Emmanuel Ullmo, Variation de la hauteur de Faltings dans une classe de $\overline{\mathbb{Q}}$-isogénie de courbe elliptique, Duke Math. J. 97 (1999), p. 81-97 Article
[8] John Tate, A review of non-Archimedean elliptic functions, Elliptic curves, modular forms, Fermat’s last theorem (Hong Kong, 1993), Series in Number Theory 1, International Press., 1995, p. 162–184