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Kevin Keating
Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 431-448, doi: 10.5802/jtnb.1032
Article PDF
Class. Math.: 11S15, 11S05
Mots clés: local fields, symmetric polynomials, norm, trace, indices of inseparability, digraphs

Résumé - Abstract

Soit $K$ un corps local de caractéristique résiduelle $p$ et soit $L/K$ une extension séparable finie totalement ramifiée de degré $n$. Soient $\sigma _1,\ldots ,\sigma _n$ les $K$-plongements de $L$ dans une clôture séparable de $K$. Pour tout $1\le h\le n$, soit $e_h(X_1,\ldots ,X_n)$ le polynôme symétrique élémentaire en $n$ variables de degré $h$, et pour tout $\alpha \in L$, soit $E_h(\alpha ) =E_h(\sigma _1(\alpha ),\ldots ,\sigma _n(\alpha ))$. Soit $\mathcal{P}_K$ l’idéal maximal de l’anneau des entiers de $K$ et soit $j=\min \lbrace v_p(h),v_p(n)\rbrace $. Nous montrons que $E_h(\mathcal{P}_L^r)\subset \mathcal{P}_K^{\lceil (i_j + hr)/n\rceil }$ pour tout $r\in \mathbb{Z}$, où $i_j$ est l’indice d’inséparabilité d’ordre $j$ de l’extension $L/K$. Dans certains cas, nous montrons également que $E_h(\mathcal{P}_L^r)$ n’est contenu dans aucune puissance supérieure de $\mathcal{P}_K$.

Bibliographie

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