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Dan Abramovich; Anthony Várilly-Alvarado
Campana points, Vojta’s conjecture, and level structures on semistable abelian varieties
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 525-532, doi: 10.5802/jtnb.1037
Article PDF
Class. Math.: 11J97, 14K10, 14K15, 11G18
Mots clés: Campana points, Vojta’s conjecture, abelian varieties, level structures

Résumé - Abstract

Nous introduisons une conjecture qualitative, dans l’esprit de Campana, qui prédit que certains sous-ensembles de points rationnels sur une variété sur un corps de nombres, ou un champ de Deligne–Mumford sur un anneau de $S$-entiers, ne peut pas être dense pour la topologie de Zariski. La conjecture interpole, d’une manière que nous précisérons, entre la conjecture de Lang pour les points rationnels sur les variétés de type général sur un corps de nombres, et la conjecture de Lang et Vojta qui affirme que les points $S$-entiers sur une variété de type général logarithmique ne sont pas denses pour la topologie de Zariski. Nous montrons que notre conjecture découle de la conjecture de Vojta. En supposant la conjecture, nous prouvons le théorème suivant : étant donné un corps de nombres $K$, un ensemble fini $S$ de places de $K$ contenant les places infinies, et un nombre entier positif $g$, il existe un entier $m_0$ tel que, pour tout $m> m_0$, il n’y a pas de variétés abélienes $A / K$ de dimension $g$ avec réduction semistable en dehors de $S$ avec une structure pleine de niveau $m$.

Bibliographie

[1] Dan Abramovich, Birational geometry for number theorists, Arithmetic geometry, Clay Mathematics Proceedings 8, American Mathematical Society, 2009, p. 335–373
[2] Dan Abramovich & Anthony Várilly-Alvarado, Level structures on abelian varieties and Vojta’s conjecture, Compos. Math. 153 (2017), p. 373-394
[3] Dan Abramovich & Anthony Várilly-Alvarado, Level structures on abelian varieties, Kodaira dimensions, and Lang’s conjecture, Adv. Math. 329 (2018), p. 523-540
[4] FrŁ’edéric Campana, Fibres multiples sur les surfaces: aspects geométriques, hyperboliques et arithmétiques, Manuscr. Math. 117 (2005), p. 429-461
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