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Satoshi Fujii; Tsuyoshi Itoh
Some remarks on pseudo-null submodules of tamely ramified Iwasawa modules
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 533-555, doi: 10.5802/jtnb.1038
Article PDF
Class. Math.: 11R23
Mots clés: Iwasawa modules, finite submodules, pseudo-null submodules

Résumé - Abstract

Nous donnons diverses observations sur la structure des modules d’Iwasawa modérément ramifiés pour une $\mathbb{Z}_p$-extension (ou une $\mathbb{Z}_p$-extension multiple) d’un corps de nombres. Dans cet article, nous considérons la question de savoir si un module d’Iwasawa modérément ramifié possède un sous-module fini (ou pseudo-nul) non-nul ou non. Pour la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ (avec $p$ impair), nous pouvons obtenir une solution complète à cette question. Nous donnons également des conditions suffisantes pour avoir un sous-module pseudo-nul non-nul pour la $\mathbb{Z}_p^{\oplus 2}$-extension d’un corps quadratique imaginaire. Et nous donnons aussi une application de nos résultats à la « théorie d’Iwasawa non-abélienne » dans le sens d’Ozaki.

Bibliographie

[1] Leslie J. Federer, Noetherian $\mathbf{Z}_p [[{T}]]$-modules, adjoints, and Iwasawa theory, Ill. J. Math. 30 (1986), p. 636-652
[2] Satoshi Fujii, Pseudo-null submodules of the unramified Iwasawa module for $\mathbb{Z}_p^2$-extensions, Interdiscip. Inf. Sci. 16 (2010), p. 55-66
[3] Satoshi Fujii, On the depth of the relations of the maximal unramified pro-$p$ Galois group over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension, Acta Arith. 149 (2011), p. 101-110
[4] Satoshi Fujii, On restricted ramifications and pseudo-null submodules of Iwasawa modules for $\mathbb{Z}_p^2$-extensions, J. Ramanujan Math. Soc. 29 (2014), p. 295-305
[5] Takashi Fukuda & Keiichi Komatsu, Noncyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions of imaginary quadratic fields, Exp. Math. 11 (2002), p. 469-475
[6] Georges Gras, Class field theory, From theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2003
[7] Ralph Greenberg, The Iwasawa invariants of $\Gamma $-extensions of a fixed number field, Am. J. Math. 95 (1973), p. 204-214
[8] Ralph Greenberg, On the Iwasawa invariants of totally real number fields, Am. J. Math. 98 (1976), p. 263-284
[9] Ralph Greenberg, On the structure of certain Galois groups, Invent. Math. 47 (1978), p. 85-99
[10] Ralph Greenberg, Iwasawa theory – past and present, Class field theory – its centenary and prospect, Advanced Studies in Pure Mathematics 30, Mathematical Society of Japan, 2001, p. 335–385
[11] Ralph Greenberg, On the structure of certain Galois cohomology groups, Doc. Math. (2006), p. 335-391
[12] Tsuyoshi Itoh, Yasushi Mizusawa & Manabu Ozaki, On the $\mathbb{Z}_p$-ranks of tamely ramified Iwasawa modules, Int. J. Number Theory 9 (2013), p. 1491-1503
[13] Tsuyoshi Itoh & Yu Takakura, On tamely ramified Iwasawa modules for $\mathbb{Z}_p$-extensions of imaginary quadratic fields, Tokyo J. Math. 37 (2014), p. 405-431
[14] Kenkichi Iwasawa, A note on class numbers of algebraic number fields, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 20 (1956), p. 257-258
[15] Jean-François Jaulent, Christian Maire & Guillaume Perbet, Sur les formules asymptotiques le long des $\mathbb{Z}_{\ell }$-extensions, Ann. Math. Qué 37 (2013), p. 63-78
[16] Takenori Kataoka, On pseudo-isomorphism classes of tamely ramified Iwasawa modules over imaginary quadratic fields, Acta Arith. 180 (2017), p. 171-182
[17] John Minardi, Iwasawa modules for $\mathbb{Z}_p^d$-extensions of algebraic number fields, Ph. D. Thesis, University of Washington (USA), 1986
[18] Yasushi Mizusawa, Tame pro-$2$ Galois groups and the basic $\mathbb{Z}_2$-extension, Trans. Am. Math. Soc. 370 (2018), p. 2423-2461
[19] Yasushi Mizusawa & Manabu Ozaki, On tame pro-$p$ Galois groups over basic $\mathbb{Z}_p$-extensions, Math. Z. 273 (2013), p. 1161-1173
[20] Jan Nekovář, Selmer complexes, Astérisque 310, Société Mathématique de France, 2006
[21] Thong Nguyen Quang Do, Formations de classes et modules d’Iwasawa, Number theory (Noordwijkerhout, 1983), Lecture Notes in Mathematics 1068, Springer, 1983, p. 167–185
[22] Manabu Ozaki, A note on the capitulation in $\mathit{Z}_p$-extensions, Proc. Japan Acad., Ser. A 71 (1995), p. 218-219
[23] Manabu Ozaki, The class group of $\mathit{Z}_p$-extensions over totally real number fields, Tôhoku Math. J. 49 (1997), p. 431-435
[24] Manabu Ozaki, Iwasawa invariants of $\mathbb{Z}_p$-extensions over an imaginary quadratic field, Class field theory – its centenary and prospect, Advanced Studies in Pure Mathematics 30, Mathematical Society of Japan, 2001, p. 387–399
[25] Manabu Ozaki, Non-abelian Iwasawa theory of $\mathbb{Z}_p$-extensions, Young Philosophers in Number Theory, Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku, 2002, p. 25–37
[26] Manabu Ozaki, Non-abelian Iwasawa theory of $\mathbb{Z}_p$-extensions, J. Reine Angew. Math. 602 (2007), p. 59-94
[27] Bernadette Perrin-Riou, Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d’Iwasawa, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. 17 (1984), p. 1-130
[28] Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics 83, Springer, 1997
[29] Kay Wingberg, “Free pro-$p$ extensions of number fields”, preprint