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Boris Adamczewski; Colin Faverjon
Méthode de Mahler, transcendance et relations linéaires : aspects effectifs
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 557-573, doi: 10.5802/jtnb.1039
Article PDF
Class. Math.: 11J81, 11J72
Mots clés: Méthode de Mahler, transcendance, indépendance linéaire

Résumé - Abstract

Cette note est consacrée aux aspects algorithmiques de la méthode de Mahler. Dans un travail récent, nous avons utilisé un résultat de Philippon pour montrer qu’étant donnés une fonction $q$-mahlérienne $f(z)$ appartenant à ${\mathbf{k}}\lbrace z\rbrace $, où ${\mathbf{k}}$ est un corps de nombres, et un nombre algébrique $\alpha $ dans le domaine d’holomorphie de $f$, le nombre $f(\alpha )$ est soit transcendant, soit dans ${\mathbf{k}}(\alpha )$. Nous décrivons ici un algorithme permettant de trancher cette alternative. Plus généralement, étant donnés plusieurs fonctions $q$-mahlériennes $f_1(z),\dots ,f_r(z)$ et un nombre algébrique $\alpha $ dans le domaine d’holomorphie des $f_i$, nous montrons comment calculer explicitement une base de l’espace vectoriel des relations de dépendance linéaire sur $\mathbb{Q}$ entre les nombres $f_1(\alpha ),\dots ,f_r(\alpha )$.

Bibliographie

[1] Boris Adamczewski & Jason P. Bell, A problem about Mahler functions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 17 (2017), p. 1301-1355
[2] Boris Adamczewski & Colin Faverjon, Méthode de Mahler : relations linéaires, transcendance et applications aux nombres automatiques, Proc. Lond. Math. Soc. 115 (2017), p. 55-90
[3] Jason P. Bell & Michael Coons, Transcendence tests for Mahler functions, Proc. Am. Math. Soc. 145 (2017), p. 1061-107
[4] Philippe Dumas, Récurrences mahlériennes, suites automatiques, études asymptotique Mathématiques, Ph. D. Thesis, Université de Bordeaux I (France), 1993
[5] Patrice Philippon, Groupes de Galois et nombres automatiques, J. Lond. Math. Soc. 92 (2015), p. 596-614
[6] Bernard Randé, Equations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites $p$-régulières, Ph. D. Thesis, Université de Bordeaux I (France), 1992