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Lukas Spiegelhofer
Pseudorandomness of the Ostrowski sum-of-digits function
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 637-649, doi: 10.5802/jtnb.1042
Article PDF
Class. Math.: 11A55, 11A67
Mots clés: Ostrowski numeration, pseudorandomness, Fourier–Bohr spectrum

Résumé - Abstract

Pour un nombre irrationnel $\alpha \in (0,1)$, nous étudions la fonction somme des chiffres d’Ostrowski $\sigma _\alpha $. Étant donné un nombre $\alpha $ à quotients partiels bornés et un nombre $\vartheta \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$, nous montrons que la fonction $g:n\mapsto \mathrm{e}(\vartheta \sigma _\alpha (n))$, où $\mathrm{e}(x)=\mathrm{e}^{2\pi i x}$, est pseudo-aléatoire dans le sens suivant : pour tout $r\in \mathbb{N}$ la limite

$$ \gamma _r= \lim _{N\rightarrow \infty }\frac{1}{N}\sum _{0\le n<N}g(n+r)\overline{g(n)} $$

existe et on a

$$ \lim _{R\rightarrow \infty }\frac{1}{R}\sum _{0\le r<R}\bigl \vert \gamma _r\bigr \vert ^2=0. $$

Bibliographie

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