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Kevin Keating
Perturbing Eisenstein polynomials over local fields
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 30 no. 2 (2018), p. 681-694, doi: 10.5802/jtnb.1045
Article PDF
Class. Math.: 11S15, 11S05
Mots clés: local fields, Eisenstein polynomials, symmetric polynomials, indices of inseparability, digraphs

Résumé - Abstract

Soit $K$ un corps local de caractéristique résiduelle $p$ et soit $L/K$ une extension séparable finie totalement ramifiée. Soit $\pi _L$ une uniformisante de $L$, de polynôme minimal $f(X)$ sur $K$. Supposons que $\tilde{\pi }_L $ est une autre uniformisante de $L$ telle que $\tilde{\pi }_L\equiv \pi _L+r\pi _L^{\ell +1}\pmod {\pi _L^{\ell +2}} $ pour certains $\ell \ge 1$ et $r\in \mathcal{O}_K$. Soit $\tilde{f}(X)$ le polynôme minimal de $\tilde{\pi }_L $ sur $K$. Dans cet article nous donnons des congruences pour les coefficients de $\tilde{f}(X)$ en termes de $\ell $, $r$, et les coefficients de $f(X)$. Ces congruences améliorent le travail de Krasner [8].

Bibliographie

[1] Pierre Deligne, Les corps locaux de caractéristique $p$, limites de corps locaux de caractéristique $0$, Représentations des groups réductifs sur un corps local, Travaux en Cours, Hermann, 1984, p. 119–157
[2] Michael Fried, Arithmetical properties of function fields II, The generalized Schur problem, Acta Arith. 25 (1974), p. 225-258
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[4] Volker Heiermann, De nouveaux invariants numériques pour les extensions totalement ramifiées de corps locaux, J. Number Theory 59 (1996), p. 159-202
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[6] John W. Jones & David P. Roberts, A database of local fields, J. Symb. Comput. 41 (2006), p. 80-97
[7] Kevin Keating, Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials, J. Théor. Nombres Bordx 30 (2018), p. 431-448
[8] Marc Krasner, Sur la primitivité des corps $\mathfrak{P}$-adiques, Mathematica 13 (1937), p. 72-191
[9] Andrius Kulikauskas & Jeffrey Remmel, Lyndon words and transition matrices between elementary, homogeneous and monomial symmetric functions, Electron. J. Comb. 13 (2006)
[10] Jean-Pierre Serre, Corps Locaux, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago 8, Hermann, 1962
[11] Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, Volume 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 62, Cambridge University Press, 1999