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Jean-Pierre Kahane
Conditions pour que les entiers de Beurling aient une densité
(Conditions for Beurling numbers to have a density)
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 29 no. 2 (2017), p. 681-692, doi: 10.5802/jtnb.996
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Class. Math.: 11N20
Keywords: Beurling, Diamond, generalized primes and integers, Tauberian theorems, Fourier methods in number theory

Résumé - Abstract

In 1977 H .G. Diamond gave a condition on Beurling’s generalized prime numbers in order that the corresponding generalized integers have a density. We give a new proof of this condition (Théorème 1.2) and a proof that it is not necessary (Théorème 2.1 and Exemples 2.2). However, it is very near to be necessary (Théorème 3.1). Both proofs of Théorèmes 1.2 and 2.1 rely on Fourier analysis.

Bibliography

[1] Michel Balazard, La version de Diamond de la méthode de l’hyperbole de Dirichlet, Enseign. Math. 45 (1999), p. 253-270
[2] Arne Beurling, Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math. 68 (1937), p. 255-291 Article |  MR 1577580
[3] Harold G. Diamond, When do Beurling generalized integers have a density ?, J. Reine Angew. Math. 295 (1977), p. 22-39
[4] Jean-Pierre Kahane, Séries de Fourier absolument convergentes, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiet 50, Springer, 1970
[5] Jean-Pierre Kahane, Some random series of functions, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 5, Cambridge University Press, 1985
[6] Jean-Pierre Kahane, Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d’une conjecture de Bateman et Diamond, J. Théor. Nombres Bordx 9 (1997), p. 251-266 Article
[7] Jean-Pierre Kahane & Eric Saias, “Sur l’exemple d’Euler d’une fonction complètement multiplicative de somme nulle”, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01338806, à paraître dans Enseign. Math., 2016
[8] Norbert Wiener, Tauberian Theorems, Annals of Math. 33 (1932), p. 1-100 Article |  MR 1503035